Quasi-reductive (bi)parabolic subalgebras in reductive Lie algebras

We say that a finite dimensional Lie algebra is quasi-reductive if it has a linear form whose stabilizer for the coadjoint representation, modulo the center, is a reductive Lie algebra with a center consisting of semisimple elements. Parabolic subalgebras of a semisimple Lie algebra are not always quasi-reductive (except in types A or C by work of Panyushev). The classification of quasireductive parabolic subalgebras in the classical case has been recently achieved in unpublished work of Duflo, Khalgui and Torasso. In this paper, we investigate the quasi-reductivity of biparabolic subalgebras of reductive Lie algebras. Biparabolic (or seaweed) subalgebras are the intersection of two parabolic subalgebras whose sum is the total Lie algebra. As a main result, we complete the classification of quasi-reductive parabolic subalgebras of reductive Lie algebras by considering the exceptional cases. Résumé. Une algèbre de Lie de dimension finie est dite quasi-réductive si elle possède une forme linéaire dont le stablisateur pour la représentation coadjointe, modulo le centre, est une algèbre de Lie réductive avec un centre formé d’éléments semi-simples. Les sous-algèbres paraboliques d’une algèbre de Lie semi-simple ne sont pas toujours quasi-réductives (sauf en types A ou C d’après un résultat de Panyushev). Récemment, Duflo, Khalgui and Torasso ont terminé la classification des sous-algèbres paraboliques quasi-réductives dans le cas classique. Dans cet article nous étudions la quasi-réductivité des sous-algèbres biparaboliques des algèbres de Lie réductives. Les sous-algèbres biparaboliques sont les intersections de deux sous-algèbres paraboliques dont la somme est l’algèbre de Lie ambiante. Notre principal résultat est la complétion de la classification des sous-algèbres paraboliques quasi-réductives des algèbres de Lie réductives.